Recherches Benoit Guerville-Balle

Publications & Pré-publications

 

11.
"Fundamental groups of real arrangements and torsion in the lower central series quotients" en collaboration avec E. Artal et J. Viu-Sos, 9 pages (soumis). arXiv:1704.04152.

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Nous prouvons que le groupe fondamental du complémentaire d'un arrangement de droites réelles n'est pas déterminé par son treillis d'intersection, fournissant ainsi un contre-exemple à un Problème de Falk-Randell. De cela, nous déduisons que la torsion de la série centrale descendante n'est pas déterminé par la combinatoire de l'arrangement. Ce qui fournis une réponse négative à une question de Suciu.
10.
"Configurations of points and topology of real line arrangements" en collaboration avec J. Viu-Sos, 52 pages (soumis). arXiv:1702.00922.

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Une question centrale dans l'étude des arrangements de droites dans le plan projectif complexe est : Quand la combinatoire d'un arrangement détermine-t-elle ses propriétés topologiques ? Dans le présent papier, nous introdusions un invariant topologique des arrangements des droites réels compléxifiés : le poids de la chambre (chamber weigth). Cet invariant est basé sur le calcul du poids des points, de la configuration duale de l'arrangement, situés dans une région particulière du plan projectif réel ; et ce, en ne travaillant qu'avec des propriétés géométriques.
En utilisant ce point de vu dual, nous construisons plusieurs exemples d'arragements réels compléxifiés ayant les même combinatoires et different plongements dans le plan projectif complexe (i.e. des paires de Zariski), qui sont distingués par cet invariant. En particulier, nous obtenons des paires avec 13, 15 et 17 droites définies sur le corps des rationels et contenant uniquement des points doubles et triples. Pour chacune d'elles, nous construisons des dégénérations contenant des points de multiplicité 2, 3 et 5, qui sont également des paires de Zariski.
Nous calculons explicitement l'espace des réalisations de la combinatoire de l'un de ces exempes et provons qu'il est formé de 2 composantes connexes. Nous obtenons également deux caractérisations géométriques de ces composantes: l'existence d'un conique tangente à 6 droites ainsi que la colinéarité de 3 points triples.
9.
"On the topology of arrangements of a cubic and its inflectional tangents" en collaboration avec S. Bannai, T. Shirane et H. Tokunaga, accepté pour publication dans Proceedings of the Japan Academy, Ser. A, Mathematical Sciences. arXiv:1607.07618.

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Un arrangement k-Artal est une courbe algébrique réductible composée d'une cubique lisse et de k tangentes en des points d'inflections. En étudiant les propriétés topologiques de ces sous-arrangements, nous prouvons que pour k=3,4,5,6, il existe des paires de Zariski d'arrangements k-Artal. Ces paires de Zariski peuvent être distinguées géométriquement par le nombre de triplets colinéaires dans l'ensemble des points singuliers de la courbes contenus dans la cubique.
8.
"Non-homotopicity of the linking set of algebraic plane curves" en collaboration avec T. Shirane, 12 pages (soumis). arXiv:1607.04951.

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Les "splitting numbers" et l'ensemble d'enlacement sont deux invariants topologiques des courbes algébriques planes. Ils ont été introduit par le second auteur pour les "splitting numbers" et par le JB. Meilhan et le premier auteur pour l'ensemble d'enlacement. Bien qu'ils proviennent de différent domaine des mathématiques -géométrie algébrique pour les "splitting numbers" et la topologie géométrique pour l'ensemble d'enlacement- nous prouvons dans ce papier que dans certains cas particuliers ils sont équivalents. Cela nous permet de déduire que l'ensemble d'enlacement n'est pas déterminé par le groupe fondamental du complémentaire de la courbe.
7.
"A linking invariant for algebraic curves" en collaboration avec J.B. Meilhan, 18 pages (soumis). arXiv:1602.04916.

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Nous construisons un invariant topologique des courbes algébriques planes, qui est dans un sens, une adaptation des nombres d'enlacement de la théorie des noeuds. Cet invariant est une généralisation de l'invariant I des arrangements de droites, développé par Artal, Florens et le premier auteur. Nous donnons un outils pratique permettant de calculer cet invariant, utilisant une modification de la monodromie de tresse usuelle. Comme application, nous montrons que cet invariant distingue une nouvelle paire de Zariski de courbes, ie une paire de courbes ayant la même combinatoire mais des topologies différentes. Ces exemples sont composés d'une cubique et de 5 tangentes en ses points d'inflexions. Tout comme l'exemple historique de Zariski, cette paire peut être caractérisée de façon géométrique par la position mutuelle de ses points singuliers.
6.
"An arithmetic Zariski pair of line arrangements with non-isomorphic fundamental group" en collaboration avec E. Artal, J.I. Cogolludo et M.A. Marco, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas, (2017) vol.111, pp.377–402. arXiv:1507.00190.

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Dans un travail personnel, le troisième auteur a trouvé une combinatoire ayant quatre réalisations dans le groupe cyclotomique des racine cinquième de l'unité et telles que leurs réalisations non complexes conjuguées soit non topologiquement équivalente (dans le sens où elles ne sont pas envoyées de la même façon dans le plan projectif complexe). Ce travail n'implique cependant pas que les complémentaires soit non-isomorphes. Dans ce papier, nous prouvons que les groupes fondamentaux des complémentaires sont non-isomorphes. Cela fournit donc le premier exemple d'une paire de courbes algébriques planes conjuguées sous l'action du groupe de Galois et ayant des groupes fondamentaux de leurs complémentaires non isomorphes (bien qu'ils aient les même complétions profinies).
5.
"Multiplicativity of the I-invariant and topology of glued arrangements" accepté pour publication dans Journal of Mathematical Society of JapanarXiv:1506.08227.

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L’I-invariant a été introduit pour la première fois dans [4]. En s’inspirant des idées de G. Rybnikov, nous obtenons un théorème de multiplicativité de cet invariant sous le recollement de deux arrangements le long d’un triangle. Une application de ce théorème est de prouver que les arrangements de Rybnikov étendus forment une paire de Zariski (i.e. deux arrangements ayant les mêmes informations combinatoires et des topologies différentes). Enfin, nous étendons cette méthode à une famille particulière d’arrangements ; ainsi nous obtenons une méthode pour construire de nouveaux exemples de paires de Zariski.
4.
"Combinatorics of line arrangements and dynamics polynomial vector fields", 13 pages, en collaboration avec J. Viu Sos, (soumis). Une version d'annonce est parue dans le proceeding Thirteenth International Conference Zaragoza-Pau on Mathematics and its Applications, pp.61–66. arXiv:1412.0137.

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Soit A un arrangement de droites réelles et D(A) le module des A–dérivations vu comme l’ensemble des champs de vecteurs polynomiaux possédant A comme ensemble invariant. Nous caractérisons tout d’abord les champs possédant une infinité de droites invariantes. Ensuite, nous démontrons que le degré minimal des éléments de D(A) laissant invariant uniquement un nombre fini de droites n’est pas déterminé par la combinatoire de A.
3.
"An arithmetic Zariski 4-tuple of twelve linesGeometry & Topology 20 (2016) pp.537–553. arXiv:1411.2300.

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En utilisant l'invariant développé dans [AFG], nous différencions quatre arrangements ayant la même combinatoire mais dans des classes de déformations distinctes. A partir de ces arrangements, nous construisons quatre autres arrangements tels qu'il n'y ait pas d'homéomorphisme préservant l'orientation entre eux. De plus, certains couples formés parmi ce quadruplet forment de nouvelles paires de Zariski arithmétiques, i.e. un couple d'arrangements ayant la même combinatoire mais des plongements différents dans CP^2.
2.
"A topological invariant of line arrangements" en collaboration avec E. Artal et V. Florens, [AFG], accepté pour publication dans Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze. arXiv:1407.3387.

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En utilisant l'une des descriptions de l'application inclusion de la variété bord d'un arrangement dans son complémentaire obtenue dans [FGM], nous exhibons un nouvel invariant topologique des arrangements de droites. Cette invariant permet également de calculer explicitement la partie quasi-projective des variétés caractéristiques d'un arrangement de droite.
1.
"On complex line arrangements and their boundary manifolds" en collaboration avec V. Florens et M.A. Marco, [FGM]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 159, pp 189-205. arXiv:1305.5645.

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Nous donnons deux descriptions explicites de l'application de l'inclusion de la variété bord d'un arrangement dans son complémentaire. D'une de ces descriptions, nous obtenons une nouvelle présentation du groupe fondamental du complémentaire généralisant celle de R. Randell au cas de tout les arrangements complexes.
0.
"Topological invariants of line arrangements", thèse dirigée par E. Artal, V. Florens et J. Vallès. Soutenue le 6 décembre 2013 et réalisée en cotutelle au sein de l'Université de Pau et des Pays de l'Adour et de L'université de Saragosse.
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